mardi 28 août 2007

Cours et méthodes. Leçon n°2: Les engrenages(première partie)

Nouvelle leçon! Après l'étude des châssis, passons maintenant à quelque chose qui bouge et qui ravi les fans de Technic: les roues dentées et les trains d'engrenages.
Etant donné la taille de ce chapitre, j'ai préféré le scinder en plusieurs parties pour ne pas trop surcharger la mise en page, ainsi que vos neurones.
Pour cet article je n'ai pas recréé beaucoup de documents, car nombreux sont ceux qui savent que dès qu'il s'agit d'incliner quelque chose dans MLCAD, c'est le bordel.
Aussi vous constaterez que les parties calculs en gras sont sous forme d'images et non de textes, je m'en excuses, mais les fonctions des mises en pages ne sont hélas pas très évoluées, et ranger les calculs comme y faut est une tâches des plus ardues(impossible en réalité). Pardonnez moi aussi si parfois ces calculs n'ont pas la même taille de police.

2 Roue dentées
Sans doute voudrez-vous que votre robot puisse bouger. Après tout il ne s’agit pas d’un concours de sculpture auquel vous participez. Le moteur 9v va fournir la motorisation, mais il se peut qu’il ne tourne pas à la bonne vitesse ou bien qu’il ne soit pas assez puissant. Il peut aussi être difficile de placer le moteur à l’endroit où il peut être directement fixé aux roues. Tous ces problèmes se résolvent grâce aux engrenages. Pour rappel un engrenage est un ensemble de deux ou plusieurs pièces mécaniques comportant des dentures et destinés à s'engrener ensemble.

Les engrenages sont généralement utilisés dans l’une de ces circonstances :
1. transmettre du couple d’un axe vers un autre,
2. augmenter ou réduire la vitesse de rotation,
3. inverser le sens de rotation,
4. transférer le mouvement de rotation d’un axe vers un autre,
5. transformer le mouvement de rotation en mouvement de translation,
6. conserver le mouvement de rotation de deux axes synchrone.

2.1 Roues dentées et droites
Les roues dentées droites sont utilisées quand les axes sont parallèles entre eux. Dans un engrenage droit, les dentures sont droites et parallèles aux axes. Les engrenages droits sont de loin les plus courants et ce sont ceux que se représentent les gens quand on leur parle d’engrenages. Vous trouverez quatre tailles différentes de roues dentées droites dans le Robotic Invention System (RIS).

Illustration 2-1. Roues dentées droites Lego, avec leurs nombres de dents

On nomme les roues suivant leur type et leur nombre de dents. Par exemple, nous parlons d’une roue droite à 8 dents. Souvent par simplification on remplace «dents » par « t » et on omet d’indiquer le type pour les roues droites (parce qu’elles sont courantes). On se référera ainsi à une roue dentée droite de 40 dents par le terme « roue 40t ». « t » viens de « teeth » qui signifie dents en anglais. Cela dit moi je ne dis même pas "t" :d.

2.1.1 Ecartement entre roues dentées
Les tailles des roues dentées LEGO sont listées dans le tableau 2.1. Il est intéressant de noter que le rapport entre les rayons est égal au rapport entre les nombres de dents(8/24=0,5/1,5=1/3). C’est du au fait que, quelle que soit la taille des roues, la taille de leurs dents est identique – même celles au profil en développante de cercle du pignon 8t. L’égalité des tailles de dents permet un engrènement parfait.

Etant donné le rayon d’une roue et son nombre de dents, on peut en déduire la taille de chacune des dents. Cette information peut être utile à connaître quand on utilise un pignon avec une crémaillère.



Vous pouvez le vérifier par vous-même. La taille des dents de chaque roue est vraiment
la même !

NB: En anglais, il n’y a pas de différence entre roues dentées et pignons (gears). En français, le pignon désigne la plus petite des deux roues qui composent un engrenage.

2.1.1.1 Ecartement horizontal entre roues dentées
A l’aide des données de l’illustration 2.2, nous pouvons calculer les distances entre roues dentées pour un engrènement optimal. La distance entre les deux axes est égale à la somme des deux rayons.

Illustration 2-2. Ecartement entre roues dentées(en tenons)

Les engrenages à huit, vingt-quatre et quarante dents ne posent pas de problèmes. Les roues à 16 dents s’utilisent aisément ensemble mais il faut un écartement d’un demi tenon pour les utiliser avec les roues 8t, 24t et 40t. Cet espacement d’un demi-tenon peut être réalisé à l’aide d’une brique Technic 1x2 à deux trous.

Illustration 2-3. Espacement d'un demi-tenon réalisé à l'aide d'une brique Technic 1x2 à deux trous.

Note de montage: Les écartements de deux ou trois tenons sont ceux qui offrent le plus de possibilités d’engrenages. L’écartement de deux tenons est aussi bien adapté en vertical.

2.1.1.2 Ecartement vertical
Il est difficile de créer des engrenages suivant la verticale. Le tableau des écartements entre roues dentées montre que les distances possibles varient par demi-tenon de un tenon à cinq tenons. Pour un bon engrènement vertical, il nous faut construire à l’aide de barres de 1,2 tenon de hauteur et de plaques de 0,4 tenon d’épaisseur un écartement correct. Il s’avère que c’est possible seulement pour des écarts de 2 et de 4 tenons.

Illustration 2-4. Espacement vertical entre roues dentées(en tenon)

L’espacement entre roues n’a pas besoin d’être parfait pour permettre l’engrènement. Un écart inférieur à 0,08 tenons est admissible. Les roues 8t et 16t s’engrènent à 1,6 tenon de distance (l’écart idéal est de 1,5), mais elles ne le font pas de manière certaine et des patinages sont possibles.

Illustration 2-5. Outrepasser les restrictions d'espacement vertical

La figure 2.5 montre une méthode pour contourner les restrictions d’espacement vertical des roues dentées. La roue du milieu est maintenue en place par un axe-cheville inséré dans un trou de la brique verticale. Les roues en haut et en bas sont espacées de 6 tenons, ce qui leur permet de s’adapter parfaitement aux axes traversant les briques horizontales.

2.1.1.3 Ecartement diagonal entre roues dentées
Le calcul de l’espacement en diagonal entre roues dentées est plus délicat que pour l’écartement perpendiculaire ou vertical. Comme nous l’avons fait pour calculer les solutions d’entretoisement diagonal, nous calculons les solutions diagonales du triangle (hypoténuse) à l’aide du théorème de Pythagore. Ces valeurs sont alors comparées aux valeurs idéales de l’espacement entre roues dentées rassemblées dans l’illustration 2.2.

Illustration 2-6. Ecartement diagonal entre roues dentées

Le tableau 2.2 récapitule les engrenages possibles pour les roues droites de 8, 16, 24 et 40 dents. Les dimensions verticales sont indiquées dans la colonne de gauche, les dimensions horizontales dans la ligne du haut. A l’intersection de chaque ligne et colonne est placée la valeur de l’écartement diagonal. La case est laissée vide si la valeur ne correspond à aucun engrenage possible. L’écart à la distance idéale toléré est inférieur à 0.08 tenon. Une distance trop faible et les roues se coincent. Une distance trop grande et il y aura trop de jeu et un risque de patinage.

Illustration 2-7. Outrepasser les restrictions d'espacement diagonal

L’illustration 2.7 montre une façon de s’affranchir des restrictions d’espacement diagonal. Trois connecteurs d’axes perpendiculaires sont utilisés pour maintenir les roues dentées en place. La roue 24t est fixée à l’aide d’un axe-cheville. Les deux pignons sont placés à une distance de 4.1 tenons ce qui permet de les fixer par des axes aux barres horizontales. Le jeu de 0.1 tenon est également réparti entre les deux engrènements.

2.1.2 rapport d'engrenage
Le rapport d’engrenage est le nombre de rotation qu’effectue l’axe mené quand l’axe menant effectue une rotation complète. L’illustration 2.8 montre un rouage constitué d’un seul engrenage : un pignon 8t sur l’axe menant et une roue 24t sur l’axe mené. Si le pignon fait un tour complet, 8 de ses dents vont passer la droite de contact. Comme il engrène la roue, elle-même verra 8 de ses dents passer cette ligne. Comme les dents sont également réparties sur la circonférence de la roue, la roue 24t tourne de 8/24ème ou bien encore 1/3 de tour.

Illustration 2-8. Rapport d'engrenage 3:1

En utilisant l’information sur la rotation, on calcul le rapport d’engrenage. La convention admise est d’écrire les rapports comme fraction de nombres entiers.



Le rapport de 3:1 nous indique que l’axe menant (celui du pignon 8t) doit effectuer trois tours complets pour que l’axe mené (celui qui porte la roue 24t) effectue un tour complet. Utiliser des engrenages pour diminuer la vitesse de rotation ou diminuer l’angle de rotation s’appelle une réduction. Si nous inversions les roues dentées, l’axe mené ferait trois tours à chaque tour de l’axe menant. Il s’agit alors de démultiplication, et le rapport d’engrenage serait alors de 1:3.

Vous aurez peut-être remarqué que le rapport d’engrenage est l’inverse du rapport du nombre de dents. La raison de ceci est facile à concevoir si nous imaginons que l’axe menant ne tourne que d’une seule dent. Dans le cas du pignon 8t menant la roue 24t, l’axe menant effectuera 1/8ème de tour alors que le l’axe mené effectuera dans le même temps 1/24ème de tour.



Utiliser le nombre de dents pour calculer directement les rapports d’engrenages est plus facile et plus rapide que de calculer d’abord le nombre rotations et d’en déduire les rapports d’engrenages.

Tableau 2-3. Rapport d'engrenage des roues dentées droites Lego.


2.1.3 Le couple
Le couple est une force qui tend à faire tourner les objets. Vous générez du couple à chaque fois que vous appliquez une force pour serrer à l’aide d’une clé. Cette force crée un couple sur l’écrou, qui tend à le faire tourner. Si l’écrou est serré il vous faut pousser plus fort (plus de force) ou bien utiliser un manche plus long (plus de distance).

Illustration 2-9. Couple = Force x Distance

Comme le montre cet exemple de la clé et de l’écrou, le couple est le produit de la force par la distance. L’unité en usage pour mesurer le couple en est le reflet. On mesure le couple dans le système métrique en Newton.mètre (N.m).

Les roues dentées fonctionnent en transmettant la force aux dents des roues. Sur l’illustration 2.10, la roue 24t exerce une force sur la roue 40t. La force (f) est égale au couple (t1) appliqué à la roue 24t divisé par le rayon (r1). La force transmise par une roue est inversement proportionnelle au rayon de la roue. Plus la roue est grande, moins la force qu’elle transmet est importante, pour un couple donné.

La force appliquée à la roue 40t génère un couple (t2) égale à la force (f) fois le rayon (r2). Le couple appliqué est proportionnel au rayon de la roue. Appliquer une force à une grande roue génèrera plus de couple que si on applique cette même force à une petite
roue.Illustration 2-10. Le rapport des couples est égal au rapport des rayons.

Le couple disponible sur l’axe de la roue menée (roue 40t) peut être exprimé en fonction du couple disponible sur la roue menante (roue 24t) et des deux rayons (t2=t1xr2/r1). Un pignon menant une roue augmentera le couple. Il y aura plus de couple disponible sur l’axe de la roue que de couple appliqué sur l’axe du pignon.

Comme discuté plus tôt, nous savons que le rapport d’engrenage est l’inverse du rapport des rayons. Ceci nous permet d’utiliser le rapport d’engrenage pour calculer l’augmentation du couple d’un engrenage donné. Voyons l’exemple ci-dessous :


2.1.4 La vitesse
Dans tout mécanisme, vous n’avez jamais rien sans rien. Dans l’exemple précédent, nous utilisons un engrenage pour augmenter le couple. En échange, ce que nous avons perdu,
c’est de la vitesse. L’arbre de sortie tourne avec plus de couple, mais il tourne aussi moins vite.

Si nous mesurons les angles en radians (1 radian = 180°/Pi = 1 tour/(2xPi)), la vitesse radiale d’une roue (v) est égale à la vitesse angulaire (ω) par le rayon (r). Il y a une relation de proportionnalité entre la vitesse radiale et le rayon d’une roue. Pour une vitesse angulaire donnée, la vitesse radiale d’une grande roue est plus grande que la vitesse radiale d’une roue plus petite.

Illustration 2-10. Le rapport des vitesses angulaires est égal à l'inverse du rapport des rayons.

Quand deux roues dentées sont engrenées, la vitesse radiale de chacune d’elle est identique. Dans l’exemple ci-dessus, quelle sera la vitesse angulaire de la roue 40t si le pignon 24t tourne à 180 tours par minutes ?
(froncez les sourcils)



La plus grandes des roues dentées tourne plus lentement que la plus petite. Le rapport de
vitesses angulaires est égal à l’inverse du rapport des rayons. Sachant cela on peut
calculer les vitesses angulaires directement à partir du rapport des rayons.


Tout comme avec le couple, le rapport d’engrenage peut être utilisé à la place du rapport
des rayons.



2.1.5 Les trains d'engrenages
Si plusieurs engrenages s’enchaînent en cascade, un train d’engrenage est formé. En utilisant des roues 40t et 8t, il est ainsi possible de créer un rapport d’engrenage de 625:1.

Illustration 2-12. train d'engrenage à plusieurs étages

Le train d’engrenage ci-dessus se compose de 4 étages, chacun ayant un rapport d’engrenage de 5 :1. Pour calculer la réduction totale, en partant de A et B, nous multiplions le rapport de B et C, ainsi de suite jusqu’à E.



Le moteur Technic 9V génère un couple d’environ 6 N.cm avec des piles neuves. Si on le relie à l’axe A pour le faire tourner, l’amplification du couple fournira un couple de 3750 N.cm à la sortie de l’axe E. C’est suffisant pour serrer les écrous des roues de ma voiture. A cause des frottements dans le train d’engrenage, le couple réellement disponible est bien inférieur à 3750 N.cm, mais il reste suffisant pour tordre les axes et casser des dents sur les roues. Faites-y attention quand vous créerez d’importantes réductions d’engrenages.

Comme indiqué auparavant, toute augmentation de la valeur du couple s’accompagne d’une réduction de la vitesse de rotation. Si l’on prend notre moteur, relié à l’axe A, qui tourne à 200 tours/min, l’axe E tournera à 0.32 tour/min, soit environ un tour toutes les 3 minutes. Si au contraire on fixe le moteur à l’axe E, alors l’axe A tournera à 125.000 tours/min. Ceci correspondrait à une vitesse radiale sur la roue 40t de 942 km/h ! Heureusement, les frottements importants évitent au faible moteur de 9V d’atteindre de telles vitesses qui seraient dangereuses. Quand la démultiplication augmente la vitesse, les couples que cela nécessite augmentent les frottements des étapes ultimes. Avec un rapport d’engrenage de 625 :1, il est improbable que le moteur soit assez puissant pour faire tourner le mécanisme.

2.1.5.1 Les roues folles
La roue 24t sur l’illustration 2.13 est une roue folle. Une roue folle n’affecte pas le rapport d’engrenage. Le rapport de AC serait le même si la roue 24t était absente. Les roues folles sont assez courantes dans les machines ou elles permettent de relier deux axes éloignés. Elles servent aussi à changer la direction de rotation de l’arbre de sortie.



Illustration 2-13. Une roue folle.

2.1.6 Roue à embrayage
La curieuse roue 24t blanche avec des inscriptions sur le flanc est la roue à embrayage. Elle a ceci de particulier que les dents ne sont pas obligatoirement solidaires de l’axe. Un mécanisme interne permet aux dents de tourner par rapport à l’axe quand le couple maximum est dépassé. La roue à embrayage est utilisée pour limiter le couple d’un rouage, protégeant les moteurs et évitant à votre robot de se démanteler. Il y a en a deux dans le bulldozer 8275.

La roue à embrayage est marquée de la mention 2.5 ¤ 5.0 N.cm. C’est la limite de couple de la roue. N.cm est l’abrégé de Newton.centimètre, l’unité de couple (le couple est le produit d’une force par une distance, le centimètre est une unité de distance, et le Newton est une unité de force). La roue permet de transmettre un couple maximum de 2.5 à 5 N.cm.

Illustration 2-14. Utilisation de la roue à embrayage pour limiter les efforts

Sur l’illustration 2.14, la roue à embrayage est utilisée pour limiter la force qui s’applique à la longrine qui vient en appui sur la cheville de butée. Sans la roue à embrayage, nous aurions le risque de bloquer le moteur ou de causer des dommages au montage. A partir des informations que nous possédons sur la roue à embrayage, sur les rapports d’engrenages, sur les distances, il est possible de calculer la force maximale qu’applique la longrine sur le connecteur de butée.



Bien, le grand deux n'est pas terminé, mais l'article est déjà bien long pour l'unique petit un.
Alors je vous propose de retrouver la suite la semaine prochaine. Les roues coniques, la vis-sans-fin, etc.

Moune

7 commentaires:

Alban a dit…

Salut,
Encore une fois c'est une bonne initiative de traduire ce livre et de le faire connaitre. Par contre il commence à dater et on aimerai y voir par exemple les nombreuses nouvelles roues dentées avec un nombre de dents différent et les possibilités d'assemblage (entre-axe).
Je ne crois pas que se soit dans le livre mais il serait bon de diffuser que l'espace entre deux trous d'une poutre correspond à 16 dents :
- 2 trous cote à cote = 1 espace = 16 dents soit 2 x 8 dents,
- 2 trous séparés d'un trou = 2 espaces = 32 dents soit 8+24 ou 16+16,
- ...

De même il me semble que les roues folles avec palier (pour les boites de vitesses) ne sont pas traités dans ce livre.

Si tu prévois d'ajouter des liens de sites ou blogs perso, pense au mien : http://blogotechnic.blogspot.com/

Je pense entre autre présenter tous les modèles technics des années 77-87, ce qui pourrait bien compléter ton article sur les 20 dernières années technic.

Alban

Moune a dit…

Voilà qui est fait, tu peux ajouter le miens sur ton blug aussi.

Pour ce qui est de mettre à jour ce document, c'est sacrée tâche.

Je vais voir ce que je peux faire quant à tes indications.


^^

Alban a dit…

Merci, pour toi c'était déjà fait !
Effectivement c'est du boulot de compléter ce document, entre les illustrations, les calculs et le blabla...
Bon courage.

JFKenouille a dit…

Tres bon boulot, tres instructif, surtout la partie sur le ccouple.

Merci chef ;)

Anonyme a dit…

Je suis vraiment intéresse paf tes cours. J'aimerais cependant savoir les intruments mathématiques ou meme de mesure dont tu te sers pour les faire. La je travail sur un projet, je dois justifier mes choix de pièces en me basant sur des formules et des principes scientifiques
Peux tu me venir en aide? Ce serait vraiment cool

Anonyme a dit…

Je te laisse mon mail toure_momo@yahoo.fr

Bernard de Go Mars ! a dit…

Bravo pour cette très belle étude technique !

Ce lieu est sans doute celui où je pourrai poser ma difficile question :

J'ai fabriqué un projecteur de cinéma en Lego (un projecteur qui marche, évidemment, et qui projette des film animés !)(voir les explications au lien :
http://perso.numericable.fr/gomarsimage/projo_lego.html ).

Il me reste cependant un petit problème pour que ce projecteur puisse être utilisé par de jeunes enfants (ceux-ci n'étant pas experts en tournage de manivelle) : l'axe cruciforme classique noir que j'utilise pour tenir le pignon d'attaque de 40 dents se montre trop souple pour résister aux moments cycliques développés par le déport du maneton de la manivelle :
Existe-t-il des axes plus raides que ces axes ?

Autre question (subsidiaire) : où puis-je acheter ce type d'engrenage à 36 ou 40 dents ? Lego ne les propose pas à la vente sur son site...

En vous remerciant pour votre réponse,

Bernard de Go Mars !